Окончил театроведческий факультет ГИТИСа (1949, курс Павла Маркова), параллельно учился в Литинституте имени А. М. Горького на курсе И. Л. Сельвинского. В 1949 году родился его сын — впоследствии кинодраматург Александр Миндадзе. А. Б. Гребнев трагически погиб 19 июня 2002 года при наезде автомобиля. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.
